Isoperimetric Sequences

At our faculty seminar today, I mentioned a problem I had discussed a bit with colleagues Ed Burger and Tom Garrity, which moves the isoperimetric problem from geometry to numbers.

Consider a nonnegative sequence X such as 0,1,2,3,… . For any subset S, define

volume V(S) = sum of elements of S,

perimeter P(S) = sum of elements of S whose predecessor or successor is not in S.

Problem. For given V(S) = n, find S to minimize perimeter P(S).

For n=9, the minimum perimeter P(n) = 6, with S = {2,3,4}.

For n=19, the minimum perimeter P(n) = 10, with S = {1,3,4,5,6}.

I claimed that

√2√n < P(n) < 2√n ,

which Lori Pedersen quickly disproved but which I guess I just meant to say holds asymptotically. Roger Bolton proposed allowing general real sequences X such as all of the integers, in which case one would want to define perimeter as a sum of absolute values.

Note added March 23, 2011. Rob Pratt noted that the graph of P(n) in our published paper [MMNPS] is incorrect; for example, P(11) is not 5 but 8, with optimal sequence {0,1,2,3,5}. He recomputed the following graph of P(n) using integer programming.

[MMNPS] Steven J. Miller, Frank Morgan, Edward Newkirk, Lori Pedersen, and Deividas Seferis. Isoperimetric sequences, Math. Magazine 84 (Feb. 2011), 37-42.

Note added June 3, 2011WeRo Jung, working with Karl-Dieter Crisman at Gordon College, found mistakes in the calculations for  497 and 991, now corrected, and provided a new graphs up to 3000.

Note added February 8, 2012. For the latest, see

Patrick Devlin, Integer subsets with high volume and low perimeter, arXiv.org

Our least-perimeter function P(n) is now in The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences OEIS A186053.

Note added March 5, 2012. Brian Simanek has announced a better, sharp upper bound:

P(n) ≤ √2√n + (1+o(1)) 27/4 n1/4.

 

n    P(n)
1    1
2    2
3    2
4    4
5    5
6    3
7    6
8    7
9    6
10    4
11    8
12    8
13    9
14    7
15    5
16    10
17    11
18    9
19    10
20    8
21    6
22    11
23    12
24    13
25    10
26    11
27    9
28    7
29    14
30    12
31    13
32    14
33    11
34    12
35    10
36    8
37    16
38    16
39    13
40    14
41    15
42    12
43    13
44    11
45    9
46    16
47    17
48    17
49    14
50    15
51    16
52    13
53    14
54    12
55    10
56    16
57    17
58    18
59    18
60    15
61    16
62    17
63    14
64    15
65    13
66    11
67    22
68    17
69    18
70    19
71    19
72    16
73    17
74    18
75    15
76    16
77    14
78    12
79    21
80    23
81    18
82    19
83    20
84    20
85    17
86    18
87    19
88    16
89    17
90    15
91    13
92    22
93    22
94    24
95    19
96    20
97    21
98    21
99    18
100    19
101    20
102    17
103    18
104    16
105    14
106    22
107    23
108    23
109    25
110    20
111    21
112    22
113    22
114    19
115    20
116    21
117    18
118    19
119    17
120    15
121    22
122    23
123    24
124    24
125    25
126    21
127    22
128    23
129    23
130    20
131    21
132    22
133    19
134    20
135    18
136    16
137    29
138    23
139    24
140    25
141    25
142    27
143    22
144    23
145    24
146    24
147    21
148    22
149    23
150    20
151    21
152    19
153    17
154    28
155    29
156    24
157    25
158    26
159    26
160    28
161    23
162    24
163    25
164    25
165    22
166    23
167    24
168    21
169    22
170    20
171    18
172    28
173    30
174    29
175    25
176    26
177    27
178    27
179    29
180    24
181    25
182    26
183    26
184    23
185    24
186    25
187    22
188    23
189    21
190    19
191    29
192    29
193    31
194    32
195    26
196    27
197    28
198    28
199    30
200    25
201    26
202    27
203    27
204    24
205    25
206    26
207    23
208    24
209    22
210    20
211    29
212    30
213    30
214    32
215    33
216    27
217    28
218    29
219    29
220    31
221    26
222    27
223    28
224    28
225    25
226    26
227    27
228    24
229    25
230    23
231    21
232    29
233    30
234    31
235    31
236    33
237    34
238    28
239    29
240    30
241    30
242    32
243    27
244    28
245    29
246    29
247    26
248    27
249    28
250    25
251    26
252    24
253    22
254    34
255    30
256    31
257    32
258    32
259    34
260    35
261    29
262    30
263    31
264    31
265    33
266    28
267    29
268    30
269    30
270    27
271    28
272    29
273    26
274    27
275    25
276    23
277    37
278    35
279    31
280    32
281    33
282    33
283    35
284    36
285    30
286    31
287    32
288    32
289    34
290    29
291    30
292    31
293    31
294    28
295    29
296    30
297    27
298    28
299    26
300    24
301    37
302    38
303    36
304    32
305    33
306    34
307    34
308    36
309    37
310    31
311    32
312    33
313    33
314    35
315    30
316    31
317    32
318    32
319    29
320    30
321    31
322    28
323    29
324    27
325    25
326    36
327    38
328    39
329    37
330    33
331    34
332    35
333    35
334    37
335    38
336    32
337    33
338    34
339    34
340    36
341    31
342    32
343    33
344    33
345    30
346    31
347    32
348    29
349    30
350    28
351    26
352    37
353    37
354    39
355    40
356    38
357    34
358    35
359    36
360    36
361    38
362    39
363    33
364    34
365    35
366    35
367    37
368    32
369    33
370    34
371    34
372    31
373    32
374    33
375    30
376    31
377    29
378    27
379    37
380    38
381    38
382    40
383    41
384    39
385    35
386    36
387    37
388    37
389    39
390    39
391    34
392    35
393    36
394    36
395    38
396    33
397    34
398    35
399    35
400    32
401    33
402    34
403    31
404    32
405    30
406    28
407    37
408    38
409    39
410    39
411    41
412    42
413    40
414    36
415    37
416    38
417    38
418    40
419    41
420    35
421    36
422    37
423    37
424    39
425    34
426    35
427    36
428    36
429    33
430    34
431    35
432    32
433    33
434    31
435    29
436    45
437    38
438    39
439    40
440    40
441    42
442    43
443    41
444    37
445    38
446    39
447    39
448    41
449    42
450    36
451    37
452    38
453    38
454    40
455    35
456    36
457    37
458    37
459    34
460    35
461    36
462    33
463    34
464    32
465    30
466    43
467    46
468    39
469    40
470    41
471    41
472    43
473    43
474    42
475    38
476    39
477    40
478    40
479    42
480    43
481    37
482    38
483    39
484    39
485    41
486    36
487    37
488    38
489    38
490    35
491    36
492    37
493    34
494    35
495    33
496    31
497    46
498    44
499    47
500    40
501    41
502    42
503    42
504    44
505    45
506    43
507    39
508    40
509    41
510    41
511    43
512    44
513    38
514    39
515    40
516    40
517    42
518    37
519    38
520    39
521    39
522    36
523    37
524    38
525    35
526    36
527    34
528    32
529    46
530    47
531    45
532    48
533    41
534    42
535    43
536    43
537    45
538    46
539    44
540    40
541    41
542    42
543    42
544    44
545    45
546    39
547    40
548    41
549    41
550    43
551    38
552    39
553    40
554    40
555    37
556    38
557    39
558    36
559    37
560    35
561    33
562    45
563    47
564    47
565    46
566    49
567    42
568    43
569    44
570    44
571    46
572    47
573    45
574    41
575    42
576    43
577    43
578    45
579    46
580    40
581    41
582    42
583    42
584    44
585    39
586    40
587    41
588    41
589    38
590    39
591    40
592    37
593    38
594    36
595    34
596    46
597    46
598    48
599    49
600    47
601    49
602    43
603    44
604    45
605    45
606    47
607    48
608    46
609    42
610    43
611    44
612    44
613    46
614    47
615    41
616    42
617    43
618    43
619    45
620    40
621    41
622    42
623    42
624    39
625    40
626    41
627    38
628    39
629    37
630    35
631    46
632    47
633    47
634    49
635    50
636    48
637    49
638    44
639    45
640    46
641    46
642    48
643    49
644    47
645    43
646    44
647    45
648    45
649    47
650    48
651    42
652    43
653    44
654    44
655    46
656    41
657    42
658    43
659    43
660    40
661    41
662    42
663    39
664    40
665    38
666    36
667    46
668    47
669    48
670    48
671    50
672    51
673    49
674    52
675    45
676    46
677    47
678    47
679    49
680    50
681    48
682    44
683    45
684    46
685    46
686    48
687    49
688    43
689    44
690    45
691    45
692    47
693    42
694    43
695    44
696    44
697    41
698    42
699    43
700    40
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974 56 0 2 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44

974 56 0 5 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44

974 56 1 4 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44

974 56 2 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44

974 56 5 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44

975 50 0 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44

975 50 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44

976 51 0 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44

976 51 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44

977 52 0 2 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44

977 52 2 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44

978 52 0 1 2 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44

979 54 0 1 3 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44

979 54 0 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44

979 54 1 3 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44

979 54 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44

980 49 0 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44

980 49 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44

981 50 0 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44

981 50 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44

982 51 0 2 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44

982 51 2 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44

983 51 0 1 2 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44

984 48 0 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44

984 48 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44

985 49 0 1 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44

985 49 1 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44

986 50 0 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44

986 50 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44

987 47 0 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44

987 47 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44

988 48 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44

988 48 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44

989 46 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44

989 46 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44

990 44 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44

991 56 0 1 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

991 56 1 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

992 57 0 2 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

992 57 2 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

993 57 0 1 2 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

994 59 0 1 3 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

994 59 0 4 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

994 59 1 3 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

994 59 4 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

995 60 0 1 4 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

995 60 0 2 3 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

995 60 0 5 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

995 60 1 4 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

995 60 2 3 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

995 60 5 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

996 58 0 1 2 3 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

997 61 0 1 2 4 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

998 62 0 1 2 5 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

999 54 0 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

999 54 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

1000 55 0 1 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

1000 55 1 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

 

 

5 Comments

  1. Lori Pedersen:

    After looking at the inequality that Frank proposed, I worked on it and came up with the following : √2√n -1/2 < P(n) < 3√2√n .

    I’m pretty sure that the upper bound can be made smaller, but haven’t figured out how yet.

  2. Steven Miller:

    A modification of the problem is very easy to solve. As the name suggests, the Easier Waring’s Problem is much easier to solve than Waring’s Problem. Waring’s problem is for each k, find an s(k) so that all positive integers are a sum of at most s(k) kth powers; the Easier Waring’s problem allows us to have sums and differences (thus 7 = 3^2 - 1^2 - 1^2).

    We can thus study the Easier Isoperimetric Sequence Problem, where we allow pluses and minuses. Without being too careful about the book-keeping, it isn’t hard to see that EP(n) (the easier P(n)) is sqrt{2n}   O(1). To see this, best is if there is a k such that n = k(k+1)/2, ie, n is the sum of the first k integers. This means k is about sqrt{2n}. If we’ve overshot, we can adjust this by putting a minus sign in any of the first m integers in our sum, changing our sum by 2m. If we are off by an odd number, we simply don’t take 1 at all in our sum, which changes us by 1 (at the cost of increasing the boundary to include 2 as well).

  3. Frank Morgan:

    Proposition. P(n) ~ √2√n. Indeed,

    √2√n – 1/2 < P(n) < √2√n + (2n^{1/4} + 4)log_2 log_2 n .

    For example, 1000 ≤ P(500000) ≤ 1242.

    Proof.

  4. Edward Newkirk:

    Some thoughts on Roger Bolton’s proposed problem:

    The isoperimetric problem on the set of all integers will obviously have minimum perimeter less than or equal to the solution on the set of positive integers for any n.

    The way in which the set of all integers could have lower minimum perimeter for some n than the set of positive integers is if, by taking some set of negative integers, we can fill in a hole in a good (but not necessarily optimal) positive-integer partition while reducing perimeter.

    There are two types of hole which can always be filled while reducing perimeter. First, if the smallest term in the partition is k > 0, then adding the sequence {-(k-1), …, 0, …, k-1} will leave net volume unaffected and reduce perimeter by 1. For instance, {-1,0,1,2,3,4} is a perimeter-5 sequence of volume 9; compare it with the minimizer for 9 above.

    Second, if there is a one-term hole in the sequence, with at least two terms before and after, e.g. {…,a-1,a+1,…}, adding {-a,a} will leave area untouched while reducing perimeter by a. For instance,
    {-2,0,1,2,3,4,5,6}
    is a perimeter-8 sequence of volume 19, which we reach by applying the above two procedures to the positive-integers minimizer.

    Of course, it is not always ideal to fill a hole in the sequence by simply adding corresponding negative terms. For holes of length greater than one, adding the negative terms leaves perimeter unchanged. However, if there is a sequence of unused negative terms with the same sum and smaller perimeter, adding those terms will be beneficial; this is true even for one-term holes where we can gain by adding in the negative terms. Unfortunately, I haven’t been able to figure out a reliable way to characterize the circumstances when you can do this.

  5. Frank Morgan:

    Deividas Seferis ‘09 spoke in the math colloquium today (January 27) on “Isoperimetric Sequences.” Photo and movie feature Seferis and audience, including members of his track team and coach Fletcher Brooks.