Isoperimetric Sequences
At our faculty seminar today, I mentioned a problem I had discussed a bit with colleagues Ed Burger and Tom Garrity, which moves the isoperimetric problem from geometry to numbers.
Consider a nonnegative sequence X such as 0,1,2,3,… . For any subset S, define
volume V(S) = sum of elements of S,
perimeter P(S) = sum of elements of S whose predecessor or successor is not in S.
Problem. For given V(S) = n, find S to minimize perimeter P(S).
For n=9, the minimum perimeter P(n) = 6, with S = {2,3,4}.
For n=19, the minimum perimeter P(n) = 10, with S = {1,3,4,5,6}.
I claimed that
√2√n < P(n) < 2√n ,
which Lori Pedersen quickly disproved but which I guess I just meant to say holds asymptotically. Roger Bolton proposed allowing general real sequences X such as all of the integers, in which case one would want to define perimeter as a sum of absolute values.
Note added March 23, 2011. Rob Pratt noted that the graph of P(n) in our published paper [MMNPS] is incorrect; for example, P(11) is not 5 but 8, with optimal sequence {0,1,2,3,5}. He recomputed the following graph of P(n) using integer programming.
[MMNPS] Steven J. Miller, Frank Morgan, Edward Newkirk, Lori Pedersen, and Deividas Seferis. Isoperimetric sequences, Math. Magazine 84 (Feb. 2011), 37-42.
Note added June 3, 2011. WeRo Jung, working with Karl-Dieter Crisman at Gordon College, found mistakes in the calculations for 497 and 991, now corrected, and provided a new graphs up to 3000.
Note added February 8, 2012. For the latest, see
Patrick Devlin, Integer subsets with high volume and low perimeter, arXiv.org
Our least-perimeter function P(n) is now in The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences OEIS A186053.
Note added March 5, 2012. Brian Simanek has announced a better, sharp upper bound:
P(n) ≤ √2√n + (1+o(1)) 27/4 n1/4.
n P(n)
1 1
2 2
3 2
4 4
5 5
6 3
7 6
8 7
9 6
10 4
11 8
12 8
13 9
14 7
15 5
16 10
17 11
18 9
19 10
20 8
21 6
22 11
23 12
24 13
25 10
26 11
27 9
28 7
29 14
30 12
31 13
32 14
33 11
34 12
35 10
36 8
37 16
38 16
39 13
40 14
41 15
42 12
43 13
44 11
45 9
46 16
47 17
48 17
49 14
50 15
51 16
52 13
53 14
54 12
55 10
56 16
57 17
58 18
59 18
60 15
61 16
62 17
63 14
64 15
65 13
66 11
67 22
68 17
69 18
70 19
71 19
72 16
73 17
74 18
75 15
76 16
77 14
78 12
79 21
80 23
81 18
82 19
83 20
84 20
85 17
86 18
87 19
88 16
89 17
90 15
91 13
92 22
93 22
94 24
95 19
96 20
97 21
98 21
99 18
100 19
101 20
102 17
103 18
104 16
105 14
106 22
107 23
108 23
109 25
110 20
111 21
112 22
113 22
114 19
115 20
116 21
117 18
118 19
119 17
120 15
121 22
122 23
123 24
124 24
125 25
126 21
127 22
128 23
129 23
130 20
131 21
132 22
133 19
134 20
135 18
136 16
137 29
138 23
139 24
140 25
141 25
142 27
143 22
144 23
145 24
146 24
147 21
148 22
149 23
150 20
151 21
152 19
153 17
154 28
155 29
156 24
157 25
158 26
159 26
160 28
161 23
162 24
163 25
164 25
165 22
166 23
167 24
168 21
169 22
170 20
171 18
172 28
173 30
174 29
175 25
176 26
177 27
178 27
179 29
180 24
181 25
182 26
183 26
184 23
185 24
186 25
187 22
188 23
189 21
190 19
191 29
192 29
193 31
194 32
195 26
196 27
197 28
198 28
199 30
200 25
201 26
202 27
203 27
204 24
205 25
206 26
207 23
208 24
209 22
210 20
211 29
212 30
213 30
214 32
215 33
216 27
217 28
218 29
219 29
220 31
221 26
222 27
223 28
224 28
225 25
226 26
227 27
228 24
229 25
230 23
231 21
232 29
233 30
234 31
235 31
236 33
237 34
238 28
239 29
240 30
241 30
242 32
243 27
244 28
245 29
246 29
247 26
248 27
249 28
250 25
251 26
252 24
253 22
254 34
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256 31
257 32
258 32
259 34
260 35
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262 30
263 31
264 31
265 33
266 28
267 29
268 30
269 30
270 27
271 28
272 29
273 26
274 27
275 25
276 23
277 37
278 35
279 31
280 32
281 33
282 33
283 35
284 36
285 30
286 31
287 32
288 32
289 34
290 29
291 30
292 31
293 31
294 28
295 29
296 30
297 27
298 28
299 26
300 24
301 37
302 38
303 36
304 32
305 33
306 34
307 34
308 36
309 37
310 31
311 32
312 33
313 33
314 35
315 30
316 31
317 32
318 32
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320 30
321 31
322 28
323 29
324 27
325 25
326 36
327 38
328 39
329 37
330 33
331 34
332 35
333 35
334 37
335 38
336 32
337 33
338 34
339 34
340 36
341 31
342 32
343 33
344 33
345 30
346 31
347 32
348 29
349 30
350 28
351 26
352 37
353 37
354 39
355 40
356 38
357 34
358 35
359 36
360 36
361 38
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364 34
365 35
366 35
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368 32
369 33
370 34
371 34
372 31
373 32
374 33
375 30
376 31
377 29
378 27
379 37
380 38
381 38
382 40
383 41
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385 35
386 36
387 37
388 37
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391 34
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393 36
394 36
395 38
396 33
397 34
398 35
399 35
400 32
401 33
402 34
403 31
404 32
405 30
406 28
407 37
408 38
409 39
410 39
411 41
412 42
413 40
414 36
415 37
416 38
417 38
418 40
419 41
420 35
421 36
422 37
423 37
424 39
425 34
426 35
427 36
428 36
429 33
430 34
431 35
432 32
433 33
434 31
435 29
436 45
437 38
438 39
439 40
440 40
441 42
442 43
443 41
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445 38
446 39
447 39
448 41
449 42
450 36
451 37
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453 38
454 40
455 35
456 36
457 37
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459 34
460 35
461 36
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464 32
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466 43
467 46
468 39
469 40
470 41
471 41
472 43
473 43
474 42
475 38
476 39
477 40
478 40
479 42
480 43
481 37
482 38
483 39
484 39
485 41
486 36
487 37
488 38
489 38
490 35
491 36
492 37
493 34
494 35
495 33
496 31
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498 44
499 47
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501 41
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504 44
505 45
506 43
507 39
508 40
509 41
510 41
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512 44
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514 39
515 40
516 40
517 42
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519 38
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526 36
527 34
528 32
529 46
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531 45
532 48
533 41
534 42
535 43
536 43
537 45
538 46
539 44
540 40
541 41
542 42
543 42
544 44
545 45
546 39
547 40
548 41
549 41
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553 40
554 40
555 37
556 38
557 39
558 36
559 37
560 35
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563 47
564 47
565 46
566 49
567 42
568 43
569 44
570 44
571 46
572 47
573 45
574 41
575 42
576 43
577 43
578 45
579 46
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581 41
582 42
583 42
584 44
585 39
586 40
587 41
588 41
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591 40
592 37
593 38
594 36
595 34
596 46
597 46
598 48
599 49
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605 45
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612 44
613 46
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615 41
616 42
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618 43
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662 42
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664 40
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672 51
673 49
674 52
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677 47
678 47
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980 49 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44
981 50 0 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44
981 50 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44
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984 48 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44
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985 49 1 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44
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986 50 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44
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987 47 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44
988 48 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44
988 48 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44
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989 46 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44
990 44 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44
991 56 0 1 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
991 56 1 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
992 57 0 2 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
992 57 2 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
993 57 0 1 2 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
994 59 0 1 3 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
994 59 0 4 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
994 59 1 3 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
994 59 4 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
995 60 0 1 4 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
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995 60 0 5 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
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995 60 5 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
996 58 0 1 2 3 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
997 61 0 1 2 4 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
998 62 0 1 2 5 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
999 54 0 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
999 54 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
1000 55 0 1 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
1000 55 1 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
Welcome to my blog. I also have a blog at the
Lori Pedersen:
After looking at the inequality that Frank proposed, I worked on it and came up with the following : √2√n -1/2 < P(n) < 3√2√n .
I’m pretty sure that the upper bound can be made smaller, but haven’t figured out how yet.
24 November 2008, 7:58 pmSteven Miller:
A modification of the problem is very easy to solve. As the name suggests, the Easier Waring’s Problem is much easier to solve than Waring’s Problem. Waring’s problem is for each k, find an s(k) so that all positive integers are a sum of at most s(k) kth powers; the Easier Waring’s problem allows us to have sums and differences (thus
).
We can thus study the Easier Isoperimetric Sequence Problem, where we allow pluses and minuses. Without being too careful about the book-keeping, it isn’t hard to see that EP(n) (the easier P(n)) is
. To see this, best is if there is a k such that n = k(k+1)/2, ie, n is the sum of the first k integers. This means k is about 
. If we’ve overshot, we can adjust this by putting a minus sign in any of the first m integers in our sum, changing our sum by 2m. If we are off by an odd number, we simply don’t take 1 at all in our sum, which changes us by 1 (at the cost of increasing the boundary to include 2 as well).
25 November 2008, 12:22 amFrank Morgan:
Proposition. P(n) ~ √2√n. Indeed,
√2√n – 1/2 < P(n) < √2√n +
.
For example, 1000 ≤ P(500000) ≤ 1242.
Proof.
25 November 2008, 8:06 amEdward Newkirk:
Some thoughts on Roger Bolton’s proposed problem:
The isoperimetric problem on the set of all integers will obviously have minimum perimeter less than or equal to the solution on the set of positive integers for any n.
The way in which the set of all integers could have lower minimum perimeter for some n than the set of positive integers is if, by taking some set of negative integers, we can fill in a hole in a good (but not necessarily optimal) positive-integer partition while reducing perimeter.
There are two types of hole which can always be filled while reducing perimeter. First, if the smallest term in the partition is k > 0, then adding the sequence {-(k-1), …, 0, …, k-1} will leave net volume unaffected and reduce perimeter by 1. For instance, {-1,0,1,2,3,4} is a perimeter-5 sequence of volume 9; compare it with the minimizer for 9 above.
Second, if there is a one-term hole in the sequence, with at least two terms before and after, e.g. {…,a-1,a+1,…}, adding {-a,a} will leave area untouched while reducing perimeter by a. For instance,
{-2,0,1,2,3,4,5,6}
is a perimeter-8 sequence of volume 19, which we reach by applying the above two procedures to the positive-integers minimizer.
Of course, it is not always ideal to fill a hole in the sequence by simply adding corresponding negative terms. For holes of length greater than one, adding the negative terms leaves perimeter unchanged. However, if there is a sequence of unused negative terms with the same sum and smaller perimeter, adding those terms will be beneficial; this is true even for one-term holes where we can gain by adding in the negative terms. Unfortunately, I haven’t been able to figure out a reliable way to characterize the circumstances when you can do this.
7 December 2008, 3:10 pmFrank Morgan:
Deividas Seferis ‘09 spoke in the math colloquium today (January 27) on “Isoperimetric Sequences.” Photo and movie feature Seferis and audience, including members of his track team and coach Fletcher Brooks.
28 January 2009, 9:46 am